GAYA - GAYA DAN MOMEN SEMBARANG

- Gaya adalah aksi suatu bodi terhadap bodi lain. Suatu gaya cenderung menggerakkan sebuah bodi menurut arah kerjanya. Aksi sebuah gaya dicirikan oleh besarannya, arah kerjanya, dan titik tangkapnya. Misal

Besaran gaya = 500 kg

Arah = tegak lurus ke bawah

P = 500 kg

Titik tangkap = panjang garis

misal 1 cm = 100 kg maka panjang garis = 5 cm

F Hukum Newton

- Hukum Newton I adalah sebuah partikel akan tetap diam atau terus bergerak dalam sebuah garis lurus dengan kecepatan tetap jika tidak ada gaya tak seimbang yang bekerja padanya

- Hukum Newton II adalah bila percepatan sebuah partikelnya sebanding dengan gaya resultan yang bekerja padanya dan searah dengan gaya tersebut

F = m.a

- Hukum Newton III adalah bila gaya aksi dan reaksi antara bodi yang berinteraksi memiliki besar yang sama, berlawanan arah dan segaris

F Komposisi Gaya

- Gaya-gaya kolinier (colinear forces) = gaya-gaya yang segaris kerjanya terletak pada satu garis lurus

- Gaya-gaya koplanar (coplanar forces) = gaya-gaya yang garis kerjanya terletak pada satu bidang rata

- Gaya-gaya ruang (three dimensional system of forces) = gaya-gaya yang bekerja didalam ruang

- Gaya-gaya konkuren (concurrent forces) = gaya-gaya yang garis kerjanya melalui sebuah titik sedang jika sebaliknya disebut nonkonkuren

- Gaya-gaya sejajar = gaya-gaya yang garis kerjanya sejajar baik pada bidang rata maupun dalam ruang

Komposisi gaya diberikan pada gambar 1.1 berikut:

Gambar 1.1. Komposisi gaya-gaya

Penandaan arah gaya

- Gaya positif jika arah gaya ke kanan atau ke atas

- Gaya negatif jika arah gaya ke kiri atau ke bawah

F Keseimbangan gaya.

- Konsep dari gaya adalah suatu aksi yang cenderung mengubah keadaan diam pada sebuah bodi ke keadaan dimana gaya bekerja.

- Pada gaya kolinier, gaya akan seimbang bila jumlah aljabar gaya-gaya itu sama dengan nol. Misal P > G maka benda akan ke atas, P < G benda akan keba-wah, P = G benda seimbang (lihat gambar 1.2)

Gambar 1.2. Keseimbangan gaya

- Pada gaya konkuren-koplanar, gaya akan seimbang bila jumlah aljabar dari komponen-komponen pada sumbu X dan Y yang sama dengan nol (gambar 1.3)

S F_x = 0 dan S F_y = 0

Gambar 1.3. Keseimbangan resultan gaya

P dapat diganti oleh m dan n bila: - m Sin a + n sin b = 0 dan m cos a + n cos b = P

S X = 0 atau – m_x + n_x = 0 dan S Y = 0 atau m_y + n_y – G = 0

- Momen: besaran yang mengindikasikan kemampuan dari sebuah gaya yang menyebabkan rotasi (perputaran). M = F.r , dimana r adalah jarak gaya terhadap titik pusat tumpuan (A), lihat gambar berikut.

Gambar 1.4. Momen pada pengungkit paku dan penandaan momen

- Momen bernilai positif apabila mengakibatkan putaran searah jarum jam, dan sebaliknya bernilai negatif apabila mengakibatkan putaran berlawanan arah jarum jam

- Resultan momen dari beberapa gaya terhadap suatu titik sama dengan jumlah aljabar dari momen setiap gaya terhadap titik tersebut.

	M₁ = F₁ x r₁ M₂ = F₂ x r₂ Resultan: M = M₁ + M₂
Gambar 1.5. Resultan momen

- Teori Varignon: Momen sebuah gaya terhadap sebuah titik sama dengan jumlah momen dari komponen-komponen gaya tersebut terhadap titik itu.

- Gaya-gaya pada tongkat umpil akan menimbulkan momen positif dan negatif terhadap titik A. Apabila momen positif lebih besar atau sebaliknya, maka papan akan tidak seimbang, lihat gambar 1.5.

Add caption

Momen A = (-F₁ x 2,5)+(F₂ x 2) = 45 kgm (positif)

Jika F₂ digeser kekiri sehingga berjarak 1,25 m dari A maka M_A = (-30 kg x 2,5 m) + (60 kg x 1,25 m) = 0.

Hal ini berarti momen positif sama dengan momen negatif, tongkat umpil dinyatakan seimbang.

Gambar 1.5. Gaya-gaya pada tongkat umpil

- Dua gaya sejajar, sama besar, berlawanan arah dengan jarak tertentu (kopel gaya). Momen terhadap titik O (M_O) dapat dihitung: M_O = P.a + P.b = P.(a+b) = P.L. Jadi resultan dari pasangan gaya ini adalah momen, dan tidak mungkin berupa suatu resultan gaya ataupun gaya-gaya seimbang, sekalipun jumlah aljabarnya sama dengan nol. Pasangan gaya ini disebut gaya kopel, yang menghasilkan momen-kopel (lihat gambar 1.6).

- Torsi: suatu gaya yang menimbulkan puntiran. Gaya bekerja menyilang terhadap suatu sumbu. Garis kerja gaya tegak lurus sumbu dengan jarak d. Besar puntiran pada sumbu akibat gaya ini dihitung sebagai: T = F.d.

- Torsi menganut hukum tangan kanan, yaitu bila ibu jari menunjuk ke arah sumbu maka jari-jari yang lain merupakan gaya yang menimbulkan torsi negatif.

Definisi balok (beam)

Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya serta momen (couple) yang terletak pada suatu bidang yang mempunyai sumbu longitudinal disebut balok (beam). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu horisontal.

Balok konsole (cantilever)

Jika suatu balok disangga atau dijepit hanya pada salah satu ujungnya sedemikian sehingga sumbu balok tidak dapat berputar pada titik tersebut, maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (cantilever beam). Tipe balok ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang balok.

Gb. 6-1

Balok sederhana

Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya disebut balok sederhana. Istilah “disangga secara bebas” menyatakan secara tidak langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi pada ujung batang jika batang mengalami tekukan karena pembebanan. Batang sederhana diilustrasikan pada Gb. 6-2.

Gb. 6-2

Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang muncul pada arah sumbu balok.

Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi seragam.

Balok menggantung

Suatu balok disangga secara bebas pada dua titik dan menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung (overhanging beam). Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3.

Gb. 6-3

Balok statis tertentu

Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok. Balok-balok demikian disebut balok statis tertentu.

Balok statis tak-tertentu

Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statis tak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4.

Gb. 6-4

Tipe pembebanan

Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5.

Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).

Gb. 6-5

Gaya internal dan momen pada balok

Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser. Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada balok, perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik tersebut. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Contoh 1.

Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a).

Gb. 6-6

Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yang lerletak pada jarak x dari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balok disebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengan suatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal V bersama-sama dengan suatu momen M seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b).

Gaya V dan momen M menahan balok sebelah kiri yang mempunyai gaya-gaya R₁, P₁, dan P₂ tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai V dan M adalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas.

Tahanan momen

Momen M yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan momen (resisting moment) pada bagian D. Besarnya M dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi,

atau

Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan momen-momen reaksi pada A dan gaya-gaya P₁ dan P₂. Momen tahanan M merupakan resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D. Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada bagian-bagian tertentu pada penampang melintang dan suatu tekanan pada bagian-bagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8.

Tahanan geser

Gaya vertikal V yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan geser (resisting shear) untuk D. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,

atau

Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8.

Momen tekuk

Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment) pada D. Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan:

Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M. Momen tekuk lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

Gaya geser

Jumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan dengan

. Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser.

Konvensi tanda

Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geser dan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.

Gb. 6-7

Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip.

Persamaan pergeseran dan momen

Untuk mempermudah analisa biasanya digunakan sistem koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah persamaan, satu menyatakan gaya geser V sebagai fungsi jarak, misal x, dari salah satu ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk M sebagai fungsi x.

Diagram gaya geser dan momen tekuk

Plot untuk persamaan gaya geser V dan momen tekuk M masing-masing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini absis (horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok dan ordinat (vertikal) menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik dari batang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum setiap kuantitasnya.

Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk

Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan dengan w(x) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung kiri (A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabel x.

Gb. 6-8

Untuk suatu nilai x, hubungan antara beban w(x) dan gaya geser V adalah

dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk M adalah

Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2.

Fungsi singularitas

Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut:

dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x < a dan bernilai (x-a)ⁿ jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan demikian jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana pernyataan biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3.

Contoh 2.

Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik pada balok.

Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti pada gambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx dan menggambarkan diagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geser V bekerja pada sisi kiri elemen dan untuk elemen sepanjang dx tersebut besarnya berubah menjadi V + dV. Demikian juga momen tekuk M yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secara bertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diatas elemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan w N/m. Diagram gaya-gaya ini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh

(a) (b)

atau

Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untuk diperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengan demikian,

atau

Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadap x.

Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagram gaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit. Misalnya, dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip pada suatu bagian balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titik itu juga positip. Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geser juga diikuti oleh perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya.

Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, maka kemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennya adalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Ini mengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurva dengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. .

Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kita dapat membuat turunan kedua dari M terhadap x, yaitu d²M/dx². Apabila nilai turunan kedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkan nilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekung kebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum.

Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kita peroleh

atau

Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya.

Contoh 3.

Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan beban terdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Dengan menggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.

Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini kita peroleh persamaan kesetimbangan statis:

meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuknya.

Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban terkonsentrasi P dan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkan konvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan: