DIFERENSIAL

DIFERENSIAL

Adalah suatu bentuk dari vatif suatu fungsi dengan menggunakan 2 langkah :

1.Menentukan dari  hasil bagi perbedaan dari fungsi tersebut.

2. Mencari limit dari hasil bagi perbedaan tersebut ketika  ∆ x → 0

Defrensial terbagi  3 faktor dalam variabel bebas.

1.      Fungsi konstan.

2.      Fungsi pangkat.

3.      Konstanta kali dengan fungsi pangkat.

1.      y = f (x) = 6 → ƴ¹ =  = 0

2.      y = x → y^’ = n x^n-1

3.      a. y = u.v → y’= uv’ + vu’

Contoh soal

Tentukanlahturunan fungsi defrensial dari :

a.       y = 4x + 2x + 6

b.      y = 8x

c.       y = 4x³ + 2x² + x

d.      y =

e.       ² + 4) (x+ 3)

f.        x³ +  x² + x³

g.      y =

h.      ^-4

Penyelesaian:

a.       y = 4x² + 2x + b

y’ =  4 (2) x^2-1 + 2x^1-1 + 0

y^’ = 8x +2 (1)

y^’= 8x + 2

b.      y^’= 8

c.       y^’ = 12x² + 4x + 1

d.      y =                       → u = x^{2 +} 4 → u’= 2x

 v = x + 3 → v^’= 1

y’ = u’v- uv^’

            v²

y’ = 2x (x+3) – (x²+4) (1)

(x+3)²

            y’ = 2x² + 6x – x² + 4

                        x² + 6x + 9

            y’= = x² + 6x + 4

                       x² + 6x + 9

e.       y = (x² + 4) (x + 3) → u = x^{2 +} 4 → u^’= 2x

y = u.v

y’= uv’- vu’

   = (x² + 4) (1) + (x + 3) (2x)

    = x² + 4 + 2x² + 6x

y’ = 3x²+ 6x + 4

f.       y =  x³ +  x² + x³

y =1  x² +  x²

y^’= 4x² + 4

g.      y =                           → u = 1 → u^’ = 0

                         v = x^{5 →}  v^’= 5x⁴

y^’ = u¹v- uv¹

            v²

     = 0,1- 1,5x¹

            (x⁵)²

    =0 – 5x⁴

                x¹⁰

h.      y = -x ^-4

1.      fungsi yang di pangkatkan.

Rumus: y = [f (x)ⁿ] maka y^{’ =}  =  n [f (x)^n-1 .f (x)

Contoh soal

tentukanlah turunan fungsi pangkat dari :

a.       y = (3x² + 5x + 9)¹⁵

b.      y = (2x² + 6x² + 9x - 2)¹⁰

2.      fungsi berantai

Rumus: y = [v] dan u = g (x)  maka y’ ⁼  =  n [f‘ (u) .g’(x)

Contoh soal

Tentukalah turunan dari fungsi berantai dari :

a.       y = 5u² dan u = 3x + 4

3.      fungsi invers

Rumus: y = f [x] dan x = g (y)  maka y^{’ =  =}

Contoh soal

Tentukalah turunan dari fungsi invers dari :

a.       y = 3x + 9

b.      y = x² + 9

penyelesaian

1.      a.    y = (3x² + 5x + 9)¹⁵

y’ = 15 [3x² + 5x + 9]^15-1 (6x + 5)

y’= 15 [3x² + 5x + 9]¹⁴ (6x + 5)

b.      y = (2x³ + 6x² + 9x²)¹⁰

y’ = 10 (2x³ + 6x² + 9x-2)⁹ (6x² + 12x + 9)

2.      a.    y = 5u² dan u = 3x + 4

y’= (100) (3)

y’ = 30 u

y’ = 30 (3u + 4)

y’ = 90x + 120

3.       a. y = 3x + 9

y’ ==

b.      y = x² + 9

y’ =

prinsip defrensial

1.       y = e^{f (x)} →y’ [e^{f (x)}] [f’ (x)]

contoh soal

y = e ^{x2 + 4x +3} → y’ = [e ^{x2 + 4x +3} ] (2^x + 4 )

y = e ^x2 → y^’ [e^x] (1) = e^x

y = e  x³ +6x² + 4x → [e x^{2 + 6x +4x}] (x² + 2x + 4)

2.      y = b^x  → y’ = b^x ln b

contoh soal

y = 8^x → y’ = 8^x  ln 8

y =  → y’ = ln 6 ( 2x + 1 )

3.      y = ln x → y’ = f’ (x)

contoh soal

y = ln 4x → y’ = (4) =

y = ln 2x² + 4x → y’ = (4x + 4)

      Diferensial fungsi terhadap fungsi

Diferensial ( turunan ) dari fungsi terhadap perubahannya dapat dihitung denga

metode diferensial bersusun misalnya :

Berikut adalah beberapa contoh diferensial fungsi terhadap fungsi ( chain rule )

Contoh :

1.      tentukan jika diketahui

y = ln (sin 2x)

penyelesaian :

 =  . (sin 2x)

                       = cos 2x (2x)

                       = 2 . ctg (2x)

2.      tentukan jika diketahui

2 = 2 t² sin t

Penyelesaian :

= 4 t sin t + 2 t² cos t

Penyelesaian dari diferensial fungsi contoh 2 juga dapat dilakukan melalui substitusi z = xy dengan  x = 2 t² dan y = sin t sehingga

= y + x

Berhubung x = dan y =

bisa ditulis menjadi

=  . +  .

3.      jika dz = x dy + y dx

      = x cos t dt + y 4 dt dt

      = (2t² cos t + 4t sin t) dt

Maka

Penyelesaian :

= 2 t² cos t + 4t sin t

1.      y = sin x → y’ = = cos x

2.      y = tg x → y’ = = ctg x

3.      y = cos x → y’ = sec x

4.      y = ctg x → y’ = cos ec x

sin >< cos  ,    tg >< ctg,    sec >< cos ec

= cos x,    = ctg x,    = cos ec